Ncert Solution Class 12 Maths Chapter 7 Miscellaneous Exercise
Misc 28 - Chapter 7 Class 12 Integrals (Term 2)
Last updated at Dec. 23, 2019 by Teachoo
Transcript
Misc 28 Evaluate the definite integral โซ_(๐/6)^(๐/3)โใ(sinโก๐ฅ + cosโก๐ฅ)/โ(sinโกใ2๐ฅ ใ ) ใ โซ_(๐/6)^(๐/3)โใ(sinโก๐ฅ + cosโก๐ฅ)/โ(sinโกใ2๐ฅ ใ ) ๐๐ฅ ใ = โซ_(๐/6)^(๐/3)โใ (sinโก๐ฅ + cosโก๐ฅ)/โ(2 sinโก๐ฅ cosโก๐ฅ ) ๐๐ฅ ใ = โซ_(๐/6)^(๐/3)โใ (sinโก๐ฅ/โ(2 sinโก๐ฅ cosโก๐ฅ )+cosโก๐ฅ/โ(2 sinโก๐ฅ cosโก๐ฅ )) ๐๐ฅ ใ = โซ_(๐/6)^(๐/3)โใ (โ(sinโก๐ฅ )/(โ2 โ(cosโก๐ฅ ))+โ(cosโก๐ฅ )/(โ2 โ(sinโก๐ฅ ))) ๐๐ฅ ใ ("Using" sinโก2๐=2 sinโก๐ cosโก๐ ) = โซ_(๐/6)^(๐/3)โใ (1/โ2 โ(sinโก๐ฅ/cosโก๐ฅ ) + 1/โ2 โ(cosโก๐ฅ/sinโก๐ฅ )) ๐๐ฅ ใ = 1/โ2 โซ_(๐/6)^(๐/3)โใ(โ(tanโก๐ฅ )+โ(cotโก๐ฅ ) ) ๐๐ฅ ใ = 1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โใ [โ(cotโก๐ฅ )+1/โ(cotโก๐ฅ )] ใ ๐๐ฅ = 1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ(cotโก๐ฅ + 1)/โ(cotโก๐ฅ ) ๐๐ฅ = 1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โใโ(tanโก๐ฅ ) (cotโก๐ฅ+1) ใ ๐๐ฅ ("Using" ๐ก๐๐โก๐ฅ= 1/๐๐๐กโก๐ฅ ) Let tanโก๐ฅ=๐ก^2 Differentiating both sides ๐ค.๐.๐ก.๐ฅ. sec^2 ๐ฅ=2๐ก ๐๐ก/๐๐ฅ 1+tan^2 ๐ฅ=2๐ก . ๐๐ก/๐๐ฅ 1+(๐ก^2 )^2=2๐ก . ๐๐ก/๐๐ฅ 1+๐ก^4=2๐ก . ๐๐ก/๐๐ฅ (1+๐ก^4 ) ๐๐ฅ=2๐ก ๐๐ก ๐๐ฅ=2๐ก/(1 + ๐ก^4 ) ๐๐ก Putting values of t & dt, we get ("Using" ๐ก๐๐โก๐ฅ= ๐ก^2) Putting values of t & dt, we get 1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โใโ(tanโก๐ฅ ) (cotโก๐ฅ+1) ใ ๐๐ฅ =1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ[โ(๐ก^2 ) (cotโก๐ฅ+1)] ๐๐ฅ = 1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ[โ(๐ก^2 ) (1/tanโก๐ฅ +1)] ๐๐ฅ = 1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ๐ก[1/๐ก^2 +1] ๐๐ฅ = 1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ๐ก[(1 + ๐ก^2)/๐ก^2 ] ๐๐ฅ = 1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ๐ก[(1 + ๐ก^2)/๐ก^2 ] ร2๐ก/(1 + ๐ก^2 ) . ๐๐ก = 1/โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ2[(1 + ๐ก^2)/(1 + ๐ก^4 )] ๐๐ก = 1/โ2 2โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ(1 + ๐ก^2)/(1 + ๐ก^4 ) ๐๐ก Dividing numerator and denominator by ๐ก^2 = โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โใ ((1 + ๐ก^2)/๐ก^2 )/((1 + ๐ก^4)/๐ก^2 )ใ. ๐๐ก = โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โใ (1/๐ก^2 + 1)/(1/๐ก^2 + ๐ก^2 )ใ. ๐๐ก = โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ(1 + 1/๐ก^2 )/( ๐ก^2 + 1/๐ก^2 + 2 โ 2). ๐๐ก = โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ(1 + 1/๐ก^2 )/( (๐ก)^2 + (1/๐ก)^2โ 2 (๐ก) (1/๐ก) + 2). ๐๐ก = โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โใ (1 + 1/๐ก^2 )/((๐ก โ 1/๐ก)^2 + 2)ใ. ๐๐ก = โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ(1 + 1/๐ก^2 )/((๐ก โ 1/๐ก)^2 +(โ2 )^2 ). ๐๐ก (Adding and subtracting 2 in denominator) Let ๐กโ1/๐ก=๐ฆ Differentiating both sides ๐ค.๐.๐ก.๐ฅ. 1+ 1/๐ก^2 = ๐๐ฆ/๐๐ก ๐๐ก =๐๐ฆ/((1 + 1/๐ก^2 ) ) Putting the values of (1/t โt) and dt, we get โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โ(1 + 1/๐ก^2 )/((๐ก โ 1/๐ก)^2 +(โ2 )^2 ). ๐๐ก = โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โใ (1 + 1/๐ก^2 )/(๐ฆ^2 +(โ2 )^2 )ใ. ๐๐ก = โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โใ ((1 + 1/๐ก^2 ))/(๐ฆ^2 +(โ2 )^2 )ใร ๐๐ฆ/((1 โ 1/๐ก^2 ) ) = โ2 โซ1_(๐/6)^(๐/3)โใ 1/(๐ฆ^2 +(โ2 )^2 )ใ. ๐๐ฆ = โ2 (1/โ2 tan^(โ1)โกใ ๐ฆ/โ2ใ )_(๐/6)^(๐/3) = (tan^(โ1)โกใ ๐ฆ/โ2ใ )_(๐/6)^(๐/3) = (tan^(โ1)โกใ (1/๐ก โ ๐ก)/โ2ใ )_(๐/6)^(๐/3) ["Using" ๐ฆ=1/๐ก โ๐ก] = (tan^(โ1)โกใ (๐ก^2 โ 1)/(โ2 ๐ก)ใ )_(๐/6)^(๐/3) = (tan^(โ1)โก((tanโก๐ฅ โ 1)/(โ2 โ(tanโก๐ฅ ))) )_(๐/6)^(๐/3) = tan^(โ1) ((tanโก(๐/3) โ 1)/โ(2 tanโก(๐/3) ))โtan^(โ1) ((tanโก(๐/6) โ 1)/โ(2 tanโก(๐/6) )) = tan^(โ1) ((โ3 โ 1)/โ(2 โ3) )โtan^(โ1) ((1/โ3 โ1 )/(โ3 โ(2 . 1/(โ3 " " )))) = tan^(โ1) ((โ3 โ 1)/โ(2 โ3) )โtan^(โ1) ((1 โ โ3 )/(โ3 โ(2 . 1/(โ3 " " )))) Using ๐ก๐๐โก(๐/3) = โ3 ๐ก๐๐โก(๐/6) = 1/(โ3 " " ) = tan^(โ1) ((โ3 โ 1)/โ(2 โ3) )โtan^(โ1) ((1 โ โ3 )/โ(3 . 2 . 1/(โ3 " " ))) = tan^(โ1) ((โ3 โ 1)/โ(2 โ3) )โtan^(โ1) ((1 โ โ3 )/โ(2 โ3) ) = tan^(โ1) ((โ3 โ 1)/โ(2 โ3) )โtan^(โ1) ((โ(โ3 โ 1))/โ(2 โ3) ) = tan^(โ1) ((โ3 โ 1)/โ(2 โ3) )+tan^(โ1) ((โ3 โ 1)/โ(2 โ3) ) = 2 tan^(โ1) ((โ3 โ 1)/โ(2 โ3) ) = ๐ ใ๐ฌ๐ข๐ใ^(โ๐) [(โ๐ โ ๐)/๐] "Using " tan^(โ1)โก(โ๐) =โtan^(โ1)โก(๐) Note ๐ด๐ต^2=๐ต๐ถ^2+๐ด๐ถ^2 ๐ด๐ต^2=(โ3โ1)^2+(โ(2 โ3) )^2 ๐ด๐ต^2=3+1โ2 โ3+2 โ3 ๐ด๐ต^2=4 โด ๐ด๐ต=2 sin ๐ = ๐ต๐ถ/๐ด๐ต sin ๐ = (โ3 โ 1)/2 ๐ = ใ๐ ๐๐ใ^(โ1) ((โ3 โ 1)/2)
Ncert Solution Class 12 Maths Chapter 7 Miscellaneous Exercise
Source: https://www.teachoo.com/4854/728/Misc-28---Chapter-7-Class-12-Integration---Evaluate-definite/category/Miscellaneous/